Körmére ég a... kanóc

Az egyik kanócot meggyújtjuk mindkét végén, a másikat az csak egyik végén. A mindkét végén égő kanóc pontosan félóra alatt ég le (és ez független attól, hogy az égés egyenletes-e vagy sem!). Ezután meggyújtjuk a másik kanóc másik végét is, és az abból megmaradt "félórányi" darab negyedóra alatt ég le.

Kapcsoltam

Fekapcsolunk két kapcsolót, majd néhány perc múlva az egyiket lekapcsoljuk és átmegyünk a másik szobába. Az a lámpa, amelyik ég, a felkapcsolt kapcsolóhoz tartozik. A két lekapcsolt lámpa közül az egyik meleg lesz, az amelyiknek a kapcsolója fel volt kapcsolva.

Kapcsoltam II - a börtönben

Tegyük fel, hogy a kapcsoló A állásban van.
A rabot kijelölnek maguk közül valakit, ő lesz majd a legvégén, aki a bejelentést teszi. Őt nevezzük a továbbiakbak "Számlálónak".
Ezek után a kapcsolási szabályok:
1. Ha NEM a Számláló megy sétálni: ha az illető először sétál, és a kapcsoló A állásban van, akkor átkapcsolja B állásba, különben nem kapcsol. Ezáltal a Számlálón kívül minden rab egyszer fog kapcsolni.
2. Ha a Számláló megy sétálni, és a kapcsoló A állásban van, nem csinál semmit. Ha a kapcsoló B állásban van, akkor visszakapcsolja A-ba, és regisztrálja, hogy megint volt valaki sétálni. Ha elért n-1-ig a számolásban, akkor kijelentheti, hogy már mindenki volt sétálni.
Már csak az a dolgunk, hogy kiküszöböljük azt a tényt, hogy a kapcsoló kezdeti állása nem ismert, így a Számláló nem tudhatja, hogy ha az ő első sétájakor a kapcsoló B állásban van, akkor azért van B-ben, mert valaki A-ban találta és átkapcsolta, vagy azért, mert eleve B állásban volt. Ezért mindenkinek kétszer kell kapcsolnia, az első és a második esetben, amikor séta közben a kapcsolót A állásban találja. Ugyanis ebben az esetben, ha a Számláló 2*(n-1) kapcsolást regisztrált, két eset lehetséges:
a. A kapcsoló kezdetben A állásban volt, az összes többi rab kapcsolt már kétszer.
b. A kapcsoló kezdetben A állásban volt, volt n-2 rab, akik már kétszer kapcsoltak, és egy rab, aki egyszer (de ugye ezért biztos, hogy már ő is volt legalább egyszer sétálni).
Tehát 2*(n-1) kapcsolás után már mindenki volt biztosan legalább egyszer sétálni.

Oroszlánok a szigeten

Ha egy oroszlán lenne, így gondolkodna: ha megeszem a húst, engem senki nem tud megenni, így nem eshet bajom.
Ha ketten vannak, akkor így gondolkodik: ha megeszem a húst, a másik oroszlán meg fog enni engem az előző gondolatmenet miatt.
Ha három oroszlán van, azt mondja az első: ha megeszem a húst, két oroszlán marad ébren. A kettőből egyik sem fog engem megenni az előző gondolatmenet miatt. Így megehetem a húst.
Ha négy oroszlán van, akkor azt mondja az első: ha megeszem a húst, három oroszlán marad ébren. A háromból az, amelyik megtalál, meg fog engem enni az előző gondolatmenet miatt. Így nem ehetem meg a húst.
Továbbragozva a dolgot, ha "2n" oroszlán van, az, amelyik megtalálja a húst, nem eheti meg. Ha "2n+1" oroszlán van, akkor igen. Így 25 oroszlán esetén az első meg fogja enni a húst.

Lyukas csónak

Amíg a csónakon nincsen lyuk, a felhajtóerő szempontjából a csónak és a benne levő víz egy testnek minősül, aminek az átlagos sűrűsége nagyobb a fa sűrűségénél, de kisebb a víz sűrűségénél. A pontos érték a csónak arányaitól függ, de vélhetően elég közel lesz az 1-hez (a csónak fala elég vékony a térfogatához képest). Ezért a csónak alig fog kiemelkedni a vízből.
Ha lyukat fúrunk a csónak fenekébe, akkor a csónakon belül és kívül kiegyenlítődhet a szintkülönbség. Ebben az esetben a felhajtóerőt csak a csónak súlya határozza meg, a kiemelkedés mértékét pedig a csónak anyagának sűrűsége. Ha a fa sűrűsége 0.6 körüli, akkor a csónak annyira felemelkedik, hogy akár a víz harmada is kifolyhat belőle.

Szélcsend

A Föld forgása miatt a hajó egy tömegpontnak tekinthető, ami forog a Föld tengelye körül, és így van impulzusmomentuma, ami a tehetetlenségi nyomatékkal és a szögsebességgel egyenesen arányos. Ha felhúzzák a horgonyt, feljebb kerül a tömegközéppont, ezáltal megnő a sugár, és így a tehetetlenségi nyomaték. Az impulzusnyomaték-megmaradás miatt lecsökken a szögsebesség, a hajó lemarad a Földhöz képest. Mivel a Föld nyugatról keletre forog, a hajó nyugatra fog elindulni (persze nem sokáig, csak amíg a közegellenállás le nem fékezi).

Végtelen nagy ellenállás ;-)

Válasszunk ki egy rácspontot, és pumpáljunk bele I áramot. Mivel a rács végtelen, ezt gond nélkül megtehetjük. A rács szimmetriája miatt mind a négy irányba I/4 áram fog elfolyni.
Az előző esettől függetlenül, válasszunk ki egy rácspontot, és szívjunk ki ezen a ponton I áramot. Mivel a rács végtelen, ezt is gond nélkül megtehetjük. Itt mind a négy becsatlakozó irányból a szimmetria miatt I/4 áram fog befolyni.
A szuperpozíció elve alapján a dolog akkor is működik, ha ezt a két dolgot egyszerre csináljuk. A két kiválasztott csomópont legyen a rács egy élének két végpontja. Ekkor ezen az élen 2*I/4=I/2 áram fog folyni, vagyis a másik I/2 áram folyik a rács összes többi elemén. Így a végtelen rács eredője megfelel két párhuzamosan kapcsolt R ellenállásénak, vagyis R/2.

Megcsalt férjek

Biztos, hogy van a faluban legalább egy hűtlen feleség. Ha én nem tudok egy hűtlenről sem, akkor az én feleségem hűtlen és hétfőn délben ott lesz a templom lépcsőjén a holttest.
Ha én egy hűtlenről tudok, akkor még nem biztos, hogy tényleg csak egy van. Ha azonban hétfőn délben nincsen holttest, akkor mindenki tudott legalább egyről, azaz minimum két hűtlen van. Mivel én pontosan egyről tudok ezért az én feleségem a másik hűtlen és kedden délben ott lesz a templom lépcsőjén a két holttest.
Ha én két hűtlenről tudok, akkor kedden sem ölhetem még meg, mivel lehet, hogy tényleg csak két hűtlen van. Ha azonban kedden délben sincsen holttest, akkor mindenki tudott legalább kettő hűtlenről, azaz minimum három hűtlen feleség van. Mivel én pontosan kettőről tudok, ezért az én feleségem a harmadik hűtlen és szerdán délben ott lesznek a templom lépcsőjén a holttestek.
Ha én három hűtlenről tudok, akkor szerdán sem ölhetem még meg, mivel lehet, hogy tényleg csak három hűtlen van. Ha azonban szerdán délben sincsen holttest, akkor mindenki tudott legalább háromról, azaz minimum négy hűtlen van. Mivel én pontosan háromról tudok, ezért az én feleségem hűtlen és csütörtök délben ott lesz a templom lépcsőjén a négy holttest.
Ezzel el is értünk a megoldáshoz. A négy holttest csütörtökre kerül a templom lépcsőjére, mivel minden ember ugyanígy gondolkodik a faluban.
A gondolatmenetet akármeddig lehetne folytatni, tehát péntek délben már öt holttestnek kellene lenni, stb.

A madzag súlya

Hát ez bizony számolásos feladat... :-)
Miután elvágtuk a (jobb oldali) felfüggesztést, a madzag három részre osztható:
- A bal oldali rész, ami nem mozog, és így csak a súlyával terheli a felfüggesztést.
- A jobb oldali rész, ami szabadon esik.
- A kettő közötti dl hosszúságú szakasz, amit a szabadesés után meg kell állítani.
Az aránylag nyilvánvaló, hogy a legnagyobb erőt az utolsó dl hosszúságú darabka lefékezésekor fogjuk kapni, hiszen egyrészt ekkor már l-dl hosszúságú madzag lóg, másrészt ezt a darabkát kell a legnagyobb sebességről lefékezni. Konkrétan:
l-dl=g/2*t², hiszen a darabka l-dl hosszan esik szabadon. Mivel dl<<l,
SQR(2*l/g)=t ideig tart a zuhanás. Ekkor a sebesség
v=g*t=SQR(2*l*g).
Ezt a darabkát kell lefékezni dl úton, dt idő alatt, vagyis (egyenletes lassulást feltételezve)
dl=a/2*dt² és emellett
v=a*dt. Kiküszöböljük dt-t, mert minket a fékezéshez szükséges erő érdekel:
dt=v/a,
dl=a/2*(v/a)²=v²/(2*a)=2*l*g/(2*a),
dl=l*g/a,
a*dl=l*g. Mivel a madzag tömege m, és Newton II. törvénye szerint F=m*a, be kell hoznunk a tömeget. Jelöljük az egységnyi hosszúságú madzag tömegét M-mel, ekkor nyilván
m=M*l, illetve
dm=M*dl. Ebből
a*dm/M=m/M*g, vagyis
a*dm=m*g. A bal oldal a dm tömegű darabka fékezéséhez szükséges erő, és ez éppen a madzag súlyával egyezik meg, tehát az utolsó pillanatban a felfüggesztési pontot a madzag súlyának kétszerese terheli.

Homokóra a mérlegen

Mikor a homok elkezd hullani, egy darabig csökken a mérleg által mutatott súly. Ennek az oka az, hogy a levegőben levő homok szabadon esik, így nem terheli az alátámasztást. Ha a homok egyenletes dm/dt sebességgel pereg át a lyukon, akkor az oszlop tömege, mikor a homok eléri az óra alját:
m=dm/dt*t, ahol t az idő, amíg a homok leér az óra aljára. Ha ehhez l hosszon kell esni a homoknak, akkor a szabadesés miatt
l=g/2*t² és így
m=dm/dt*sqrt(2*l/g). A homok v=gt sebességgel csapódik be, így dt idő alatt a becsapódó homok gyorsulása (lassulása)
a=g*sqrt(2*l/g)/dt. Így a homok lefékezéséhez
F=m*a=dm*g*sqrt(2*l/g)/dt erőre van szükség. Vegyük észre, hogy ez éppen megegyezik a levegőben levő homokoszlop súlyával. Így tehát, onnantól, hogy az első homokszem leér, a mérleg visszaugrik az eredeti állásba, és pont annyit mutat, mintha nem is peregne a homok.
A folyamat végén a jelenség fordítva játszódik le: az erő elkezd nőni, ahogy csökken a levegőben levő homokoszlop hossza, és egészen addig nő, amíg az utolsó homokszem le nem ért. Ekkor megint visszaugrik a homokoszlop súlyának megfelelő állásba a mérleg.

A két golyó

A két golyó tömegközéppontja eltérő irányban mozdul el, mikor a golyók a melegítés hatására kitágulnak. Az asztalon levő golyó tömegközéppontja megemelkedik, a fellógatott golyóé lejjebb megy. Ezáltal a két golyó helyzeti energiája nem egyformán változik. A fellógatott golyó helyzeti energiája csökken, a másiké nő, és ebből az energiakülönbségből adódóan jobban felmelegszik a felakasztott golyó. (Ne akard kimérni. ;-)))

Ide-oda forgó ventillátor

A ventillátor forgását a fénycső világítja meg. Az izzólámpával ellentétben a fénycső másodpercenként százszor (a hálózati 50 Hz-es feszültség minden félhullámában) kigyullad, majd elalszik. Az emberi szem lassúsága miatt az így látott állóképek sorát folyamatosnak érzékeljük. Akkor látjuk úgy először, hogy a ventillátor forgásirányt vált, mikor a gyorsuló forgás miatt két felvillanás között 1/6-nál többet fordul. Az agynak ugyanis ilyenkor "kézenfekvőbb" azt feltételezni, hogy a ventillátor visszafelé fordult kevesebbet, mint hogy előrefelé sokat. A második irányváltást akkor érzékeljük, mikor 3/6-ot fordul a kerék két felvillanás között. És végül a harmadikat akkor, mikor 5/6-ot. Ezek után, tovább növelve a fodulatszámot, a ventillátort megállni látjuk, vagyis a két felvillanáskor pont ugyanúgy áll a kerék (elvileg elég lenne az, hogy 120 fok többszörösét fordulja a kerék, de a jelen speciális esetben pont egy egészet fog fordulni, mert az 5/6 fordulatnál nagyobb létező, 120 fokkal osztható legkisebb elfordulás a 6/6, vagyis az egy egész. Így a ventillátor fordulatszáma pontosan 100 fordulat/perc ilyenkor.

Féktárcsa (autósoknak)

Legyen az autó tömege 1200 kg, sebessége 100 km/h. Egy rendes autó ekkora sebességről 3 másodperc alatt megáll, ezalatt a mozgási energia hővé (súrlódási munkává) alakul a fékeken. A mozgási energia
m/2*v²=600*(100/3.6)²=463 kJ. Ez tűnik el 3 másodperc alatt 4 tárcsán, vagyis féktárcsánként közel 39 kW (!!! A családi házunkat egy darab 35 kW-os kazán fűti!) a fűtőteljesítmény.

Tolóerő (autósoknak)

Az autó tömege legyen megint 1200 kg, gyorsulás 0-ról 100 km/h-ra 8 másodperc (nem egy világbajnok érték, de a feladathoz teljesen jó). Ekkor, egyenletes gyorsulást feltételezve
F=m*a, és tudjuk hogy
a*8=27.8 m/s, vagyis a=3.47 m/s², és így
F=1200*3.47 N=4166 N. Ha két kerék tolja az autót, akkor ez kerekenként kb. 2000 N, ami ugye négy zsák cement súlya. Ez az az erő, amit a gumi közvetít az aszfaltra. Ugye már sejthető, miért nem vagyok híve a futózott guminak...
Ezek után saccold meg, mit csinál a 911-es Porsche egyesben, mikor mondjuk 1 másodperc alatt éri el a 40-45 km/h-t... :-/

Vissza a lap tetejére | Vissza a nyitóoldalra